Question

若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a₁=1，點(diǎn)P（，S_n+1）在曲線y=（x+1）²上．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)b_n=，Tn表示數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和，若Tn≥a恒成立，求Tn及實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，，分別取n=1和n=2時(shí)，可得
可求a₂，a₃
（2）由可得=1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求s_n，進(jìn)而可求
（3）由=，利用裂項(xiàng)求和即可求解T_n，結(jié)合單調(diào)性可求
，T_n的最小值，即可求解a的范圍
解答：解：（1）由題意可得，
分別取n=1和n=2時(shí)，可得
由a₁=1可得，a₂=3，a₃=5
（2）由可得=1
∴{s_n}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴
∴s_n=n²
當(dāng)n≥2時(shí)，=2n-1
∴a_n=2n-1
（3）∵=
∴）
=
顯然T_n關(guān)于n單調(diào)遞增，當(dāng)n=1時(shí)，T_n有最小值
∵T_n≥a恒成立
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性在求解最值中的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用