【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,AB⊥BE,AB=BE=2,AF=1.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求證:AC∥平面DEF;
(Ⅲ)求三棱錐A—DEF的體積.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由面面垂直的性質(zhì)可得BE⊥平面ABCD,BE⊥AC,且AC⊥BD.結(jié)合線面垂直的判斷定理有AC⊥平面BDE.
(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,很明顯O為BD中點(diǎn),設(shè)G為DE的中點(diǎn),連結(jié)OG,FG,結(jié)合幾何關(guān)系可證得四邊形AOGF為平行四邊形,故AC∥FG,由線面平行的判斷定理可得AC∥平面DEF.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知BE⊥平面ABCD,則AF⊥AD.又AB⊥AD,故AD⊥平面ABEF,轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)有: .
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)槠矫?/span>ABCD⊥平面ABEF,
平面ABCD∩平面ABEF=AB,且AB⊥BE,所以BE⊥平面ABCD,
因?yàn)?/span>平面ABCD,所以BE⊥AC,
又因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,所以AC⊥BD.
因?yàn)?/span>BD∩BE=B,所以AC⊥平面BDE.
(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,
因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,
所以O為BD中點(diǎn),
設(shè)G為DE的中點(diǎn),連結(jié)OG,FG,
則OG∥BE,且,
由已知AF∥BE,且,
則AF∥OG,且AF=OG.
所以四邊形AOGF為平行四邊形,
所以AO∥FG,即AC∥FG,
因?yàn)?/span>平面DEF, 平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知BE⊥平面ABCD,
因?yàn)?/span>AF∥BE,所以AF⊥平面ABCD,
所以AF⊥AB,AF⊥AD.
又因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,所以AB⊥AD,
所以AD⊥平面ABEF,
因?yàn)?/span>AB=AD=2AF=2,
所以
,
故三棱錐的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),且x=-1處取得極大 值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)A(1,t) 可作函數(shù)f(x)圖像的三條切線,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若對(duì)于任意的恒成立,求實(shí)數(shù)m取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),和直線相切,且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)已知直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并且被圓截得的弦長(zhǎng)為2,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。
(1)求的解析式;
(2)若對(duì)任意的,關(guān)于的不等式在
時(shí)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)判斷函數(shù)的奇偶性并求函數(shù)的零點(diǎn);
(Ⅱ)寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間;(只需寫(xiě)出結(jié)果)
(Ⅲ)試討論方程的根的情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B.
(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、,證明為定值.
(ii)求直線AB的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是偶函數(shù),定義x≥0時(shí),f(x)=
(1)求f(-2);
(2)當(dāng)x<-3時(shí),求f(x)的解析式;
(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上的最大值為g(a),試求g(a)的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,且.點(diǎn)
是棱的中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).
(1)求證:∥;
(2)若,且平面平面,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī),分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示:
(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);
(2)年級(jí)決定在成績(jī)[70,100]中用分層抽樣抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組,對(duì)高一年級(jí)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個(gè)調(diào)查,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?
(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長(zhǎng),求成績(jī)?cè)?/span>[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率.
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