Question

（2006•安徽）設(shè)常數(shù)a＞0，(ax2+

1

x

)4展開式中x³的系數(shù)為

3

2

，則

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

1

．

Answer 1

分析：先利用展開式中x³的系數(shù)為

3

2

，求出a的值，再利用無窮等比數(shù)列和的極限公式求解．

解答：解：由題意，展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 4

×a4-r×x8-

5

2

r
令8-

5

2

r=3，則r=2
∵(ax2+

1

x

)4展開式中x³的系數(shù)為

3

2

，
∴6a2=

3

2

∵a＞0，
∴a=

1

2

∴

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

1 2

1- 1 2

=1
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題以二項(xiàng)式為載體，考查數(shù)列的極限，關(guān)鍵是利用展開式中x³的系數(shù)為

3

2

，求出a的值，從而求極限．