Question

設(shè)雙曲線方程的半焦距為c，直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）經(jīng)過(guò)該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線m被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為15，求雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）a＞b可得e＞，可設(shè)直線l的方程為，由原點(diǎn)到直線l的距離為得，結(jié)合e＞可求e
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以設(shè)雙曲線的方程為，又由題意得直線m方程為y=2（x-2a），代入雙曲線方程得，記直線m與雙曲線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式可求a，進(jìn)而可求雙曲線方程
解答：解：（1）…（2分）
直線l的方程為，即bx+ay-ab=0，由原點(diǎn)到直線l的距離為得，即16a²（c²-a²）=3c⁴，…（4分）
兩邊同時(shí)除以a⁴得16（e²-1）=3e⁴，整理得3e⁴-16e²+16=0，解得…（5分）
又，故雙曲線的離心率為e=2…（6分）
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以設(shè)雙曲線的方程為
又由題意得直線m方程為y=2（x-2a），代入雙曲線方程得 …（7分）
3x²-4（x-2a）²=3a²，整理得x²-16ax+19a²=0…（8分）
記直線m與雙曲線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=16a，x₁x₂=19a²…（9分）∴∴…（11分）
∴所求雙曲線方程為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的離心率，求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相叫關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用．