Question

已知函數(shù)f（x）=x²+1，x∈[0，1]的反函數(shù)為f^-1（x），則函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是

1. A.
   [0，1]
2. B.
   [1，1+]
3. C.
   [1，2]
4. D.
   {1}

Answer 1

D
分析：本題考查反函數(shù)的概念、反函數(shù)的求法、函數(shù)式的化簡、函數(shù)值域的求法等相關(guān)知識．
根據(jù)y=x²+1及x∈[0，1]可得f^-1（x）的解析式，由此函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的解析式可求，根據(jù)函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）成立的條件可以確定x的取值范圍，進而求得值域．
解答：由y=x²+1解得：x=±
∵x∈[0，1]∴且y∈[1，2]
∴原函數(shù)的反函數(shù)為f^-1（x）=
由y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）
=+
=
∵函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定義域為
解得：x∈{1}，此時y∈{1}，
即函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是{1}．
故選D
點評：本題雖小，但綜合性強，展示了函數(shù)概念的深層次的問題，函數(shù)的值域是由函數(shù)的解析式和函數(shù)的定義域所確定，在本題體現(xiàn)的尤其突出．易錯點表現(xiàn)在求函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定義域，它是由所確定．