Question

設(shè)拋物線（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂；以F₁、F₂為焦點(diǎn)，離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果弦長(zhǎng)|A₁A₂|等于三角形PF₁F₂的周長(zhǎng)，求直線l的斜率．
（2）求最小實(shí)數(shù)m，使得三角形PF₁F₂的邊長(zhǎng)是自然數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1時(shí)，F(xiàn)₂（1，0），由此能求出橢圓方程3x²+4y²=12．設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能求出直線的斜率．
（2）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，半焦距為c，由題設(shè)有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，設(shè)P（x，y），對(duì)于拋物線C₁，r₂=x+m．由此能推導(dǎo)出使得三角形PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)的最小實(shí)數(shù)．
解答：解：（1）∵拋物線（m＞0），
∴m=1時(shí)，F(xiàn)₂（1，0），
∵，
故橢圓方程為，即3x²+4y²=12．
依題意知直線l存在斜率，設(shè)l：y=k（x-1）
聯(lián)立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．…3分
∵直線l與拋物線C₁有兩個(gè)交點(diǎn)，∴k≠0，
設(shè)A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中點(diǎn)M（x，y），
由韋達(dá)定理得…..5分
則 
=
=…8分
三角形PF₁F₂的周長(zhǎng)=2a+2c=6，
由 ，解得 ．
故直線l的斜率為．…9分
（2）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，半焦距為c，由題設(shè)有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
設(shè)P（x，y），對(duì)于拋物線C₁，r₂=x+m；
對(duì)于橢圓C₂，，
即…..12分
由，解得 ，
∴，從而 ．
因此，三角形PF₁F₂的邊長(zhǎng)分別是．…13分
使得三角形PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)的最小實(shí)數(shù)m=3．…14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線斜率的求法，考查使得三角形周長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)的最小實(shí)數(shù)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．