Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在與x=1時都取得極值．若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜2c恒成立，則c的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   c＞2
4. D.
   c≥2

Answer 1

C
分析：求出f′（x），因為函數(shù)在 與x=1時都取得極值，所以得到f′（-）=0，且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a(bǔ)、b的值代入求得f（x）及f′（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范圍．
解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由，解得，．
代回原函數(shù)得，f（x）=，f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：
x（-1，-） -（-，1）1（1，2]f′（x）+0-0+f（x）↑極大值↓極小值↑所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-1，-）和（1，2]，遞減區(qū)間是（-，1）．
當(dāng)x=-時，f（x）=+c為極大值，而f（2）=2+c，f（-1）=，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜2c，對x∈[-1，2]恒成立，須且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故選C．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時所取到的條件，屬中檔題．