Question

若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a(chǎn)₂₀₀₄＜0，則使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n是（　�。�

• A、4005
• B、4006
• C、4007
• D、4008

Answer 1

分析：對于首項(xiàng)大于零的遞減的等差數(shù)列，第2003項(xiàng)與2004項(xiàng)的和大于零，積小于零，說明第2003項(xiàng)大于零且2004項(xiàng)小于零，且2003項(xiàng)的絕對值比2004項(xiàng)的要大，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可判斷結(jié)論．

解答：解：∵a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a(chǎn)₂₀₀₄＜0，
∴首項(xiàng)大于零的遞減的等差數(shù)列，
∴S4006=

(a1+a4006)×4006

2

=

a2003+a2004

2

×4006
＞0，
故選B
解析：
解法1：由a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，知a₂₀₀₃和a₂₀₀₄兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又a₁＞0，則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故a₂₀₀₃＞a₂₀₀₄，即a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0．
∴S₄₀₀₆=

4006(a1+a4006)

2

=

4006(a2003+a2004)

2

＞0，
∴S₄₀₀₇=

4 007

2

•（a₁+a₄₀₀₇）=4007•a₂₀₀₄＜0，
故4006為S_n＞0的最大自然數(shù)．選B．
解法2：由a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，同解法1的分析得a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，
∴S₂₀₀₃為S_n中的最大值．
∵S_n是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示，
∴2003到對稱軸的距離比2004到對稱軸的距離小，
∴

4 007

2

在對稱軸的右側(cè)．
根據(jù)已知條件及圖象的對稱性可得4006在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4007，4008都在其右側(cè)，S_n＞0的最大自然數(shù)是4006．

點(diǎn)評：本題沒有具體的數(shù)字運(yùn)算，它考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)，有數(shù)列的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，實(shí)際上這類問題比具體的數(shù)字運(yùn)算要困難，對同學(xué)們來說有些抽象．