Question

已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲線y=x²與y=x 

1

2

圍成的區(qū)域，若在區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為

1

12

．

Answer 1

分析：求得兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1），可得區(qū)域A的面積等于函數(shù)y=x

1

2

-x²在[0，1]上的定積分值，利用積分計(jì)算公式算出區(qū)域A的面積S=

1

3

．區(qū)域Ω表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，因此求出此正方形的面積并利用幾何概型公式加以計(jì)算，即可得到所求概率．

解答：解：聯(lián)解y=x²與y=x 

1

2

，得

x=0 y=0

或

x=1 y=1

∴兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1）．
因此，兩條曲線圍成的區(qū)域A的面積為
S=∫₀¹（x

1

2

-x²）dx=（

2

3

x

3

2

-

1

3

x3）

|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

．
而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率P=

S陰影

S正方形

=

1 3

2×2

=

1

12

，
故答案為：

1

12

點(diǎn)評(píng)：本題給出區(qū)域A和Ω，求在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，使點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．