Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線2x+y﹣3=0平行，求a的值；
（2）若 ，試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數(shù)f（x）的定義域為 .

由題意 ，解得 ∴ ．

（2）

解：若 ，則 . ．

（1）令 ，由函數(shù)定義域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0

①當a≥0時， ，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

②當a＜0時， ，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

（2）令 ，即2x+4a+1＜0

①當a≥0時，不等式f'（x）＜0無解；

②當a＜0時， ，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

綜上：當a≥0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間 為增函數(shù)；

當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間 為增函數(shù)；

在區(qū)間 為減函數(shù)．

【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義和極值的定義建立方程組 ，解之即可；（2）討論a的正負，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．