Question

7．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1）．
（1）求圓心C到直線l距離最大時(shí)的直線l的方程；
（2）若l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)P分弦AB為$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$，求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由定點(diǎn)P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)、弦心距及半徑的關(guān)系可得圓心C到直線1距離最大時(shí)的直線1的方程；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），由題意$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{PM}=0$，化簡(jiǎn)可得AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，化簡(jiǎn)得x₂=3-2x₁，由$\left\{{\begin{array}{l}{mx-y+1-m=0}\\{{x^2}+{{（y-1）}^2}=5}\end{array}}\right.$消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5內(nèi)
∴直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
當(dāng)CP⊥l時(shí)，圓心C到直線l距離最大，此時(shí)直線l的方程為x=1．…（4分）
（2）由題意$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{PM}=0$，
設(shè)M（x，y），則（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，
化簡(jiǎn)得：x²+y²-x-2y+1=0，
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．…（8分）
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，化簡(jiǎn)得x₂=3-2x₁…①
又由$\left\{{\begin{array}{l}{mx-y+1-m=0}\\{{x^2}+{{（y-1）}^2}=5}\end{array}}\right.$消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{m^2}}}{{1+{m^2}}}$…②
由①②解得${x_1}=\frac{{3+{m^2}}}{{1+{m^2}}}$，代入（*）式解得±1，
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題