【題目】已知恒等式（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；
（2）當(dāng)n≥6時(shí)，求證： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n＜49n﹣2 ．

【答案】
（1）解：令x=0，則a0=1．

令x=1，則a0+a1+a2+…+a2n=3n，∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1．

∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

∴兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1．

令x=0，則n=a1，

由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

令x=2，則 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n．

∴a2+2a3+…+22n﹣2a2n= ﹣ ﹣


（2）證明：∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

∴兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1，

再一次求導(dǎo)可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2，

=k（k﹣1），

令x=2可得： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2，

n≥6時(shí)，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2，

∴ a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2＜49n﹣2．


【解析】（1）令x=0，則a0=1．令x=1，a0+a1+a2+…+a2n=3n ， 可得a1+a2+…+a2n ． 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 ． 令x=0，可得n=a1 ， 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 令x=2，可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n ． 即可得出．（2）（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 由（1）可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 ， 兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2 ， 令x=2可得： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2 ， n≥6時(shí)，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2 ， 即可證明．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax2﹣x+ ）的值域?yàn)镽；命題q：3x﹣9x＜a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線過(guò)點(diǎn)A（ ， ），B（3， ），且直線與曲線C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： =1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P是橢圓C上任一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限．直線PA交y軸于點(diǎn)Q，直線PB交y軸于點(diǎn)R．當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，點(diǎn)R坐標(biāo)為（0，2）

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證： 為定值；
（3）求證：過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某小學(xué)對(duì)一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”影響的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班(實(shí)施了數(shù)學(xué)學(xué)前教育)，乙班為對(duì)比班(和甲班一樣進(jìn)行常規(guī)教學(xué)，但沒(méi)有實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)前教育)，在期末測(cè)試后得到如下數(shù)據(jù)：

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計(jì)

甲班

30

20

50

乙班

25

25

50

總計(jì)

55

45

100

能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為進(jìn)行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”有積極作用？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;

(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與動(dòng)圓圓心C的軌跡交于A,B兩點(diǎn),求證:是一個(gè)定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+=0相切.A,B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn),直線l過(guò)B點(diǎn)且與x軸垂直.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)G是橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,延長(zhǎng)HG到點(diǎn)Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M,N為線段MB的中點(diǎn),判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l，分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)P，Q．

（1）若直線l的斜率為 ，求 的值；
（2）若 =λ ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，A，B兩點(diǎn)為噴泉，圓心O為AB的中點(diǎn)，其中OA=OB=a米，半徑OC=10米，市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞．

（1）若當(dāng)∠OBC= 時(shí)，sin∠BCO= ，求此時(shí)a的值；
（2）設(shè)y=CA2+CB2 ， 且CA2+CB2≤232．
（i）試將y表示為a的函數(shù)，并求出a的取值范圍；
（ii）若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí)，觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ，試求A，B兩處噴泉間距離的最小值．

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