Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E、F，且EF=

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．現(xiàn)有如下四個結論：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱錐A-BEF的體積為定值；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，
其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：①AC⊥BE，可由線面垂直證兩線垂直；
②EF∥平面ABCD，可由線面平行的定義請線面平行；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，可由兩個極好位置說明兩異面直線所成的角不是定值．

解答：解：①AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；
②EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，此命題正確；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD₁B₁B距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，由圖知，當F與B1重合時，令上底面頂點為O，則此時兩異面直線所成的角是∠A₁AO，當E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC1，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值．
綜上知①②③正確
故答案為①②③

點評：本題考查棱柱的結構特征，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對其中的點線面和位置關系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的知識保證．