Question

用長為90 cm、寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖).問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?

Answer 1

解:設(shè)容器高為x cm,容器的容積為V(x) cm³,則

     V(x)=x(90-2x)(48-2x)

     =4x³-276x²+4 320x(0＜x＜24).

    求V(x)的導(dǎo)數(shù),得

     V′(x)=12x²-552x+4 320

     =12(x²-46x+360)

     =12(x-10)(x-36),

    令V′(x)=0,得x₁=10,x₂=36(舍去).

    當(dāng)0＜x＜10時,V′(x)＞0,那么V(x)為增函數(shù);

    當(dāng)10＜x＜24時,V′(x)＜0,那么V(x)為減函數(shù).

    因此,在定義域(0,24)內(nèi),函數(shù)V(x)只有當(dāng)x=10時取得最大值,其最大值為

     V(10)=10×(90-20)×(48-20)

     =19 600(cm³).

    答:當(dāng)容器的高為10 cm時,容器的容積最大,最大容積為19 600 cm³.