Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sinx+mcosx與g（x）=msinx+cosx給出以下結(jié)論：
①函數(shù)f（x）與g（x）有相同的值域．
②函數(shù)f（x）與g（x）的交點(diǎn)隨m的取值的變化而變化．
③函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過平移是不可能得到函數(shù)g（x） 圖象的．
④函數(shù)f（x）與g（x）圖象關(guān)于直線x=

π

4

對(duì)稱．
⑤存在 k∈z，使得函數(shù)f（x）與g（x）的初相和為

π

2

+2kπ（k∈Z）
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：結(jié)合三角公式和三角函數(shù)的圖象進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證即可．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)m=0時(shí)，
得到f（x）=sinx，g（x）=cosx，
它們的值域相同，
當(dāng)m≠0時(shí)，
函數(shù)f（x）=sinx+mcosx
=

1+m2

sin(x+α)，
g（x）=msinx+cosx=

1+m2

sin(x+β)，
顯然它們的值域相同，
故①正確，
對(duì)于②：函數(shù)f（x）與g（x）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程
sinx+mcosx=msinx+cosx的解，
解次方程，得
tanx=1，
∴x=

π

4

+kπ，k∈Z，
顯然，它是一個(gè)與m無關(guān)的，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：結(jié)合①知，可以通過平移變換得到；
故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：g（

π

2

-x）=msin（

π

2

-x）+cos（

π

2

-x）=mcosx+sinx=f（x），
∴g（

π

2

-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）與g（x）圖象關(guān)于直線x=

π

4

對(duì)稱，
故④正確；
對(duì)于⑤：根據(jù)tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

m+ 1 m

1-m× 1 m

不成立，得
α+β=

π

2

+kπ，k∈Z，
故⑤正確；
綜上，得到正確的命題為：①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角公式、三角恒等變換公式、誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．