Question

已知函數(shù)
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當a=3時，求f（x）的極值；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）當a=2時，，x＞-1且x≠1．
所以 ，
因此f′（0）=1．即曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為1．
又f（0）=-1，（4分）
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x-y-1=0．
（2）因為 ，x＞-1且x≠1．
所以 =，
令f'（x）＞0?-1＜x＜，或x＞2，令f'（x）＜0?＜x＜2
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，），（2，+∞）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）
f（x）的極大值為f（）=；
f（x）的極小值為f（2）=；
（3）∵
∴=
令g（x）=a（x-1）²-x-1，x＞-1且x≠1
①當a=0時，g（x）=-x-1，
x∈（-1，+∞）時，g（x）＜0，此時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．（9分）
②當 時，由f′（x）=0即解得x₁=1，，此時 ，
所以當x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；（10分） 時，g（x）＜0，此時f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；（11分） 時，，此時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．（12分）
綜上所述：當a=0時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當 時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；
在 上單調(diào)遞減．（13分）
分析：（1）欲求在點（0，f（0））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案；
（3）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導函數(shù)，再討論導數(shù)的正負，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的極值若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等知識，解答的關(guān)鍵是導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．