【題目】如圖,已知在正四棱錐中, 為側(cè)棱的中點(diǎn), 連接相交于點(diǎn)

(1)證明:

(2)證明: ;

(3)設(shè),若質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿平面與平面的表 面運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的最短路徑恰好經(jīng)過點(diǎn)求正四棱錐 的體積。

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).

【解析】試題分析:

(1)由中位線定理可得線線平面,從而有線面平行;

2)正四棱錐中,底面是正方形,因此有,又PO是正四棱錐的高,從而有POAC,這樣就有AC與平面PBD垂直,從而得面面垂直;

3沿PD攤平,由A、M、C共線,因此新的平面圖形是平行四邊形,從而為菱形,M到底面ABCD的距離為原正四棱錐高PO的一半,計(jì)算可得體積.

試題解析:

(1) 證明:連接OM

O,M分別為BD,PD的中點(diǎn),

PBD,OM//PB

PBACM,OMACM

PB//ACM

(2) 證明:連接PO.

在正四棱錐中,PA=PC,OAC的中點(diǎn),

POAC,BDAC,

POBD=O, AC平面PBD,

AC平面ACM,平面ACM 平面PBD

(3) 如圖,把PAD PCD沿PD展開成平面四邊形PADC1

由題意可知A,MC1三點(diǎn)共線

∵△PAD≌△PCD, MPD的中點(diǎn),

AM=MC1,MAC1中點(diǎn),

平面四邊形PADC1為平行四邊形,

PA= PC, ∴平面四邊形PADC1為菱形,

∴正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2

POAC,POBD,PO ⊥面ABCD,PO為正四棱錐的高

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等級(jí)

優(yōu)秀

合格

尚待改進(jìn)

等級(jí)

優(yōu)秀

合格

尚待改進(jìn)

頻數(shù)

15

x

5

頻數(shù)

15

3

y


(1)從表二的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)選取2人交談,求所選2人中恰有1人測(cè)評(píng)等級(jí)為合格的概率;
(2)由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下邊2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

男生

女生

總計(jì)

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

參考數(shù)據(jù)與公式:
K2= ,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:

P(K2>k0

0.05

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

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不喜歡旅游

合計(jì)

女性

男性

合計(jì)

(II)能否在犯錯(cuò)率不超過0.025的前提下認(rèn)為“喜歡旅游與性別有關(guān)”
附:

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)

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