Question

已知函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m
（1）求證：函數(shù)f（x）-g（x）必有零點(diǎn)
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②是否存在整數(shù)a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數(shù)f（x）-g（x）的零點(diǎn)，判斷對應(yīng)方程的△與0的關(guān)系，易得結(jié)論．
（2）由函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1，①若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，根據(jù)對折變換函數(shù)圖象的特征，我們分△≤0和△＞0兩種情況進(jìn)行討論，可得到滿足條件的m的取值范圍；②若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，則將a，b代入消去m，可以求出a，b的值．
解答：證明：（1）f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m．
令f（x）-g（x）=0．
則△=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函數(shù)f（x）-g（x）必有零點(diǎn)．
（2）①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m．
①令G（x）=0，△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
當(dāng)△≤0，即2≤m≤6時(shí)，G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x²-（m-2）x+m-2．
因?yàn)閨G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，所以≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
當(dāng)△＞0，即m＜2或m＞6時(shí)，|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-2|．
因?yàn)閨G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，
所以方程x²-（m-2）x+m-2=0的兩根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=≤-1．
所以或
解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．
②因?yàn)閍≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以
由
消去m，得ab-2a-b=0，顯然b≠2．
所以a==1+．    
因?yàn)閍，b均為整數(shù)，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得或或或因?yàn)閍＜b，且a≤≤b
所以或
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)圖象的對折變換，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，（1）中解答的關(guān)鍵是“三個(gè)二次”之間的辯證關(guān)系，即函數(shù)有零點(diǎn)，則對應(yīng)的方程有根；（2）中①的切入點(diǎn)是函數(shù)圖象對折變換后的函數(shù)圖象特征；②中消參思想是解答的關(guān)鍵．