Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線的斜率為3，數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₀的值為（　�。�

• A． $\frac{2007}{2008}$
• B． $\frac{2008}{2009}$
• C． $\frac{2009}{2010}$
• D． $\frac{2010}{2011}$

Answer 1

分析 因為f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線l斜率為3，所以利用導函數(shù)的幾何含義可以求出b=1，所以數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的通項公式可化為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而由裂項相消求和方法即可求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l的斜率為3，
由f（x）=x² +bx求導得：f′（x）=2x+b，
由導函數(shù)得幾何含義得：f′（1）=2+b=3，可得b=1，
∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），
故數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的通項為$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
則利用裂項相消法可以得到：S₂₀₁₀=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$）
=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$，
故選D．

點評 此題考查了導函數(shù)的幾何含義及方程的思想，還考查了利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和的方法，屬于中檔題．