Question

已知函數，滿足對任意x₁≠x₂，都有成立，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據題設不等式判斷出函數為減函數，然后分別看x＜0和x≥時a的范圍，同時還要保證整個R上f（x）均為減函數，進而利用在x趨近于0的時候，a^x≥（a-3）x+4a，通過極限法求得a的范圍，最后綜合可得a的范圍．
解答：解：對于不等式
當x₁＜x₂時，就有：x₁-x₂＜0
所以：f（x₁）-f（x₂）＞0
即說明函數f（x）在定義域R內為減函數 ①
當x＜0時，f（x）=a^x
所以，f'（x）=a^xlna＜0
則0＜a＜1…（1）②
當x≥0時，f（x）=（a-3）x+4a
所以，f'（x）=a-3＜0
則a＜3…（2）
而，要保證在整個R上f（x）均為減函數
所以：在x趨近于0的時候，a^x≥（a-3）x+4a
f（x）=a^x=1
f（x）=（a-3）x+4a=4a
所以，1≥4a
則，a≤…（3）
聯(lián)立（1）（2）（3）得到：
0＜a≤
故答案為：（0，]
點評：本題主要考查了函數單調性的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．屬中檔題．