7．已知定義在實數(shù)解R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在R上恒有f′（x）＜1，則不等式f（x）＜x+1的解集為（　�。�
A．（-1，1）B．（-∞，-1）C．（1，+∞）D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析 令g（x）=f（x）-x-1，由有f′（x）＜1，可得g（x）的導(dǎo)數(shù)小于0，g（x）遞減，由f（1）=2，可得g（1）=0，再由單調(diào)性，即可得到不等式的解集．

解答 解：令g（x）=f（x）-x-1，由f′（x）＜1，
則g′（x）=f′（x）-1＜0，g（x）在R上遞減，
又f（1）=2，則g（1）=f（1）-1-1=0，
則不等式f（x）＜x+1，即為g（x）＜0，
又g（1）=0，
即有g(shù)（x）＜g（1），
由g（x）為遞減函數(shù)，則x＞1．
故選C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)運用單調(diào)性解不等式的思想，屬于中檔題．

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17．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=2．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{1}{2sinαcosα+co{s}^{2}α}$的值．

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18．設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域為{x|x∈R且x≠1}，已知f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x＜1時，f（x）=2x2-x+1，則x＞1時，f（x）的遞減區(qū)間為（　�。�
A．[$\frac{5}{4}$，+∞）B．（1，$\frac{5}{4}$]C．[$\frac{7}{4}$，+∞）D．（1，$\frac{7}{4}$]

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15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線4y-x+1=0垂直時，求實數(shù)m的值．
（2）若x≥1時，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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2．函數(shù)f（x）具有如下性質(zhì)：對每個實數(shù)x，都有f（x）+f（x-1）=x2．如果f（19）=94，那么f（94）除以1000的余數(shù)是多少？

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12．已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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19．已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+a，
（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求a的取值范圍；
（2）若f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，求a的取值范圍．

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16．已知函數(shù)f（x）=2x3-3x，若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，則t的取值范圍為（　�。�
A．（-∞，-3）B．（-3，-1）C．（-1，+∞）D．（0，1）

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17．方程x3+x+3=0在區(qū)間[-2，2]上解的個數(shù)（　�。�
A．1B．2C．3D．0

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