Question

如下圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N．

求證：AN⊥平面PBM．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵PA⊥平面ABM，BM平面ABM， 　　∴PA⊥BM． 　　又AB是圓O的直徑，可得AM⊥BM， 　　∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM． 　　∴BM⊥AN． 　　∴AN與PM、BM兩條相交直線垂直． 　　∴AN⊥平面PBM． 　　思路分析：本題考查線面垂直的定義，以及證明線面垂直的方法．要證線面垂直，需證直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直．已知AN⊥PM，只要再證AN和平面PBM內(nèi)的另一條直線，如BM或PB垂直即可． 　　再結(jié)合已知中線面垂直，可找線線垂直． 　　溫馨提示：判定一條直線和一個平面垂直有以下兩種方法： 　　(1)利用定義，即證這條直線和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．由于要垂直平面內(nèi)的任意一條直線，具有不確定性，這給我們的證明帶來了不便，因此這個方法的操作性不很強． 　　(2)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直可以轉(zhuǎn)化為直線和直線垂直問題．另一方面，證明線線垂直，由于直線和平面垂直時，直線和這個平面內(nèi)的所有直線都垂直，因此證明垂直問題的過程實質(zhì)是線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化的過程．