Question

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P,Q且.

（I）求點T的橫坐標(biāo)；

（II）若以F1,F2為焦點的橢圓C過點.

①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設(shè)，若的取值范圍.

 

Answer 1

（I）；（II）①，②

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，由已知得到關(guān)于的一個方程；又點在拋物線上得方程，聯(lián)立方程解得；（II）①由已知得橢圓的半焦距，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓過點可得，又即，從而解得，；②容易驗證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程得，設(shè)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，因為，所以，且將和平方除以積化簡得，將所求的模平方通過坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為關(guān)于k 的函數(shù)，解得。

試題解析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，

則，.

由，得即，①

又在拋物線上，則，②

聯(lián)立①、②易得

（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則 ③

④

將④代入③，解得或（舍去）

所以

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（ⅱ）方法一：

容易驗證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，

將直線的方程代入中得：

設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得： ⑤

⑥

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以。

因為，所以，

又，所以，

故

，

令，所以 所以，即，

所以.

而，所以.

所以.

方法二：

1）當(dāng)直線的斜率不存在時，即時，，

又，所以

2）當(dāng)直線的斜率存在時，即時，設(shè)直線的方程為

由得

設(shè)，顯然，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得：，

⑤

⑥

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得

因為，

所以，

又，

故

令，因為 所以，即，

所以.

所以

綜上所述：.

考點：圓錐曲線定義與性質(zhì)以及平面解釋幾何的綜合應(yīng)用。