Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，側面A₁ACC₁為菱形，∠A₁AC=60°，且平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M是C₁C的中點．
（1）求證：A₁C⊥BM；
（2）求二面角B-A₁A-C的正切值．

Answer 1

（1）證明：取AC中點P，則BP⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BP⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴A₁C⊥BP
∵A₁C⊥AC₁，AC₁∥PM
∴A₁C⊥PM
∵BP∩PM=P
∴A₁C⊥面BPM
∵BM?面BPM
∴A₁C⊥BM；
（2）解：作PQ⊥A₁A于Q，連接BQ
∵BP⊥平面A₁ACC₁，∴A₁A⊥BP
∵BP∩PQ=P，∴A₁A⊥面BPQ
∵BQ?面BPQ，∴A₁A⊥BQ
∴∠BQP為二面角B-A₁A-C的平面角
斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，側面A₁ACC₁為菱形，∠A₁AC=60°，設AC=2，則BP=，PQ=
∴tan∠BQP==2．
分析：（1）證明A₁C⊥BM，只需證明線面垂直，即證A₁C⊥面BPM；
（2）作PQ⊥A₁A于Q，連接BQ，證明∠BQP為二面角B-A₁A-C的平面角，再求正切值即可．
點評：本題考查線線垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．