Question

曲線y=x²+1上過點(diǎn)P的切線與曲線y=-2x²-1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：先設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出化簡，根據(jù)此直線與曲線y=-2x²-1相切，轉(zhuǎn)化成方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0只有一解，然后利用判別式進(jìn)行求解即可．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀），由題意知曲線y=x²+1在P點(diǎn)的切線斜率為k=2x₀，
切線方程為y=2x₀x+1-x₀²，而此直線與曲線y=-2x²-1相切，
∴切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0的判別式
△=4x₀²-2×4×（2-x₀²）=0．解得x₀=±

2

3

3

，y₀=

7

3

．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

3

3

，

7

3

）或（-

2

3

3

，

7

3

）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，以及直線與二次函數(shù)相切的條件，屬于基礎(chǔ)題．