Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（πx+

π

3

），x∈R，有下列命題：
①對(duì)任意x∈R，有f（x+1）=-f（x）成立；
②y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為-4；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

1

3

，0）對(duì)稱；
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱．
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上．）

Answer 1

分析：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（x+1）的解析式，可得①正確．
根據(jù)

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

，得πx+

π

3

=

4π

3

 時(shí)，f（x）有最小值為 4×（-

3

2

）=-2

3

，可得②不正確．
由點(diǎn)（-

1

3

，0）是f（x）與x軸的交點(diǎn)，可得③正確．
由當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）=sin

π2+2π

6

≠±1，故x=

π

6

不是函數(shù)的對(duì)稱軸，可得④不正確．

解答：解：f（x+1）=4sin（π+πx+

π

3

）=-4sin（πx+

π

3

）=-f（x），故①正確．
在區(qū)間[0，1]上，

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

，故πx+

π

3

=

4π

3

 時(shí)，f（x）有最小值為 4×（-

3

2

）=-2

3

，故②不正確．
當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，f（x）=sin0=0，故點(diǎn)（-

1

3

，0）是f（x）與x軸的交點(diǎn)，故y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

1

3

，0）對(duì)稱，故③正確．
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）=sin

π2+2π

6

≠±1，故x=

π

6

不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故④不正確．
故答案為 ①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性以及最值，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，明確對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的定義、函數(shù)取最值的條件，是解題的關(guān)鍵．