Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+

2

x

（1）判斷函數(shù)在（0，

2

]上的單調(diào)性并給出證明．
（2）求函數(shù)當(dāng)x∈[

1

4

，

2

3

]時(shí)的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)得，f′（x）=1-

2

x2

，當(dāng)x∈（0，

2

）時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)在（0，

2

]上是減函數(shù)．
（2）f（x）在[

1

4

，

2

3

]上也是減函數(shù)．最值易求．

解答： 解：（1）函數(shù)在（0，

2

]上是減函數(shù)．
求導(dǎo)得，f′（x）=1-

2

x2

，當(dāng)x∈（0，

2

）時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)在（0，

2

]上是減函數(shù)．
（2）因?yàn)?span id="db9jbr1" class="MathJye">[

1

4

，

2

3

]?（0，

2

]，所以f（x）在[

1

4

，

2

3

]上也是減函數(shù)．
最小值為f（

2

3

）=

2

3

+3=

11

3

，最大值為f（

1

4

）=

1

4

+8=

33

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及應(yīng)用：求最值，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的有力工具．