Question

如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點(diǎn)，又PB=BC，PA=AB．

（1）求證：PC⊥平面BDE；

（2）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，判斷BD、DQ的位置關(guān)系，并證明結(jié)論；

（3）若AB=2，求三棱錐B﹣CED的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來加以證明，關(guān)鍵是對于DE⊥PC的證明的運(yùn)用。

（2）點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)都有BD⊥DQ

（3）．

【解析】

試題分析：解：

（1）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，

∴DE⊥PC，且DE∩BE=E， ∴PC⊥平面BDE；   4分

（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD 

同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，    6分

又PA∩PC=P，  ∴BD⊥面APC，DQ?面APC，  ∴BD⊥DQ．

所以點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)都有BD⊥DQ    8分

（3）∵PA=AB=2，∴， ∵AB⊥BC，

∴S_△ABC==2．AC=2

∴CD==，   9分

即S_△DCB=S_△ABC，又E是PC的中點(diǎn)

∴V _B﹣CED=S_△ABC?PA=．    12分

考點(diǎn)：幾何體的體積，以及線面垂直

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用空間中線面的垂直以及線線的垂直的判定定理和性質(zhì)定理來證明，并利用體積公式求解，屬于中檔題。