如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，∠DAB=60°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，PD⊥底面ABCD，M為PC的中點．
（Ⅰ）證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD=
2
2
AD，求二面角D-BM-P的余弦值．
分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理，先證明BD⊥底面PDC，然后利用線面垂直的性質證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的大�。�
解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得BD=
12+22-2×1×2cos?60?
=
3
，

∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥CD，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PD，
又PD∩DC=D，
∴BD⊥底面PDC，
又PC?面PDC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=
2
，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，
以D為坐標原點，DB為x軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖：
則D（0，0，0），B（
3
，0，0），P（0，0，
2
），M（0，1，
2
2
），
則
DB
=(
3
，0，0)，
DM
=(0，1，
2
2
)，
CP
=(0，-2，
2
)，
CB
=(
3
，-2，0)，
設平面BDM的法向量為
m
=(x，y，z)，則
m
?
DB
=0
m
?
DN
=0
，
即
x=0
y+
2
2
z=0
，令z=
2
，則y=-2，可取向量
m
=(0，-1，
2
)，
同理設平面BMP的法向量為
n
=(a，b，c)，則
n
?
CP
=0
n
?
CB
=0
，
可得
n
=(
2
3
3
，1，
2
)，
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
?
n
|
m
|?|
n
|
=
1
3
?
13
3
=
13
3
，
∴求二面角D-BM-P的余弦值為
13
13
．
點評：本題主要考查線面垂直的性質，以及空間二面角的大小，利用向量法是解決空間角的基本方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案