Question

（本小題滿分14分）

如圖7，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為

圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)

，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）依題意，得，，

；

故橢圓的方程為 ．                ………………………………………3分

（2）方法一：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點(diǎn)在橢圓上，所以．     （*）          ……………………4分         

由已知，則，，

 

．                    ……………………………………6分

由于，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．

由（*）式，，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓的方程為：．                         ……………………8分

方法二：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故設(shè)，

不妨設(shè)，由已知，則

 

．        ……………………………………………………6分

故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，

又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓的方程為：．                         ……………………8分

(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，

令，得， 同理：，    ……………………10分

故      （**）                     ……………………11分

又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，，……………………12分

代入（**）式，得：

        ．

所以為定值．               ……………………14分

方法二：設(shè)，不妨設(shè)，，其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：，                 …………………………12分

故．

所以為定值．               ……………………14分

 

【解析】略