Question

有一個(gè)翻硬幣游戲，開始時(shí)硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列①、②、③的規(guī)則翻動(dòng)硬幣：①骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不翻動(dòng)硬幣；②出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)時(shí)，翻動(dòng)一下硬幣，使另一面朝上；③出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，如果硬幣正面朝上，則不翻動(dòng)硬幣；否則，翻動(dòng)硬幣，使正面朝上．按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P_n．
（Ⅰ）求證：?n∈N^*，點(diǎn)（P_n，P_n+1）恒在過定點(diǎn)（，），斜率為的直線上；
（Ⅱ）求數(shù)列{P_n}的通項(xiàng)公式P_n；
（Ⅲ）用記號(hào)S_n→m表示數(shù)列{}從第n項(xiàng)到第m項(xiàng)之和，那么對(duì)于任意給定的正整數(shù)k，求數(shù)列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時(shí)有兩種情況：第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不動(dòng)；第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)或6點(diǎn)，求出相應(yīng)的概率，即可得出結(jié)論；
（II）確定{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（III）解法一：確定S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數(shù)列，從而可求和；
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk，可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時(shí)有兩種情況：
①第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不動(dòng)，其概率為，
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為．…（3分）
②第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)或6點(diǎn)，其概率為，
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為．
∴，變形得 ．
∴點(diǎn)（P_n，P_n+1）恒在過定點(diǎn)（，），斜率為的直線上．…（6分）
（Ⅱ）解：P=1，，
又由（Ⅰ）知：，
∴{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，…（8分）
∴，
故所求通項(xiàng)公式為．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又
∵（k∈N^*）是常數(shù)，
∴S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數(shù)列，…（12分）
且
從而 ．…（14分）
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk=．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．