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3.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且滿足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(4),f(8)的值;
(2)證明:f(xy)=f(x)-f(y)
(3)函數(shù)f(x)當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時(shí)都有fx2fx1x2x1>0.若f(1)+f(x-2)≤3,求x的取值范圍.

分析 (1)由f(xy)=f(y)+f(x)且f(2)=1,令x=1,y=2,可得f(2)=f(1)+f(2)得f(1),可得f(4)=f(2)+f(2),f(8)=f(2)+f(4).
(2)由f(x•y)=f(x)+f(y)知,fx=fxyy=fxy+fy,即可證明.
(3)當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時(shí),都有fx2fx1x2x1>0.可得函數(shù)f(x)在(0,+∞)為增函數(shù),由f(1)+f(x-2)≤3,化為f(x-2)≤f(8),利用單調(diào)性即可得出.

解答 (1)解:由f(xy)=f(y)+f(x)且f(2)=1,
令x=1,y=2,∴f(2)=f(1)+f(2)得f(1)=0,
∴f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(2)+f(4)=3
(2)證明:由f(x•y)=f(x)+f(y)知,
fx=fxyy=fxy+fy
fxy=fxfy
(3)解:∵當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時(shí),都有fx2fx1x2x1>0.
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)為增函數(shù),由f(1)+f(x-2)≤3,化為f(x-2)≤f(8),
{x20x28,∴{x|2<x≤10}.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、求值、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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