Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f（x）的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）討論對稱軸x=a和區(qū)間的關(guān)系：a≥2，-2＜a＜2，a≤-2，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點即可求出f（x）在[-2，2]上的最大值g（a）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的對稱軸是x=a；
要使f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，則：a≤-2；
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]；
（Ⅱ）f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1；
①當(dāng)a≥2時，f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)；
∴g（a）=f（2）=-5+4a；
②當(dāng)-2＜a＜2時，g（a）=a²-1；
③當(dāng)a≤-2時，f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)；
∴g（a）=f（-2）=-5-4a；
綜上得g（a）=

-4a-5 ，x≤-2 a2-1 ，-2＜a＜2 4a-5 ，a≥2

．

點評：考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性特點：在對稱軸的一邊具有單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及頂點情況求二次函數(shù)最大值的方法．