Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A、B在橢圓x²+3y²=4上,點(diǎn)C在直線l:y=x+2上,且AB∥l
（1）當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；
（2）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí)，求AB所在直線的方程.

Answer 1

解：（1）因?yàn)锳B∥l且AB通過(guò)原點(diǎn)（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x
得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，1），B（-1，-1）。
 ∴|AB|= 
∵AB邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線的距離。
∴h=,S_△ABC=      
（2）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m
得4x²+6mx+3m²-4=0，
B兩點(diǎn)在橢圓上，所以 即，
B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則
且y₁=x₁+m，y₂=x₂+m
∴|AB|=
  
∵BC的長(zhǎng)等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離，
 
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=11-（m+1）²
∴當(dāng)m=-1時(shí)，AC邊最長(zhǎng)。（顯然）        ，
AB所在直線的方程為y=x-1