在一個盒子中,放有標號分別為2,3,4的三張卡片,現(xiàn)從這個盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y,記ξ=|x-3|+|y-x|.
(I)求隨機變量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望.
分析:(I)由題意x,y可能的取值為2、3、4由此可得出,|x-3|≤1,|y-x|≤2,即可得ξ≤3,分析出變量ξ的最大值時x,y的值,計算出事件“ξ取得最大值”包含的基本事件種數(shù),由公式算出概率.
(Ⅱ)ξ的所有 取值為0,1,2,3,分別計算出ξ取每一個值時概率,列出分布列,由公式計算出數(shù)學期望.
解答:解:(I)∵x,y可能的取值為2、3、4,∴|x-3|≤1,|y-x|≤2
∴ξ≤3,且當x=2,y=4,或x=4,y=2時,ξ=3.即事件ξ=3對應的基本事件有兩種       
因此,隨機變量ξ的最大值為3
∵有放回地抽兩張卡片的所有情況有 3×3=9種,
P(ξ=3)=
2
9

答:隨機變量的最大值為3,事件“ξ取得最大值”的概率為
2
9

(II) ξ的所有 取值為0,1,2,3.∵ξ=0時,只有 x=3,y=3這一種情況,ξ=1時,
有 x=2,y=2或x=3,y=2或x=3,y=4或x=4,y=4四種情況,ξ=3時,有 x=2,y=3或x=4,y=3兩種情況.
P(ξ=0)=
1
9
P(ξ=1)=
4
9
,P(ξ=2)=
2
9
…(10分)
則隨機變量ξ的分布列為:
ξ 0 1 2 3
P
1
9
4
9
2
9
2
9
因此,數(shù)學期望Eξ=0×
1
9
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
2
9
=
14
9
.….(12分)
點評:本題考查離散型隨機變量的期望與方差,解題的關鍵是求出分布列,熟練掌握概率的求法公式是準確得出分布列的關鍵,本題知識性較強,考查到了求概率,求分布列,求期望,是概率中一個典型題,題后要總結其解題脈絡.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆遼寧省分校高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

在一個盒子里放有6張卡片,上面標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,現(xiàn)在從盒子里每次任意取出一張卡片,取兩片.

   (I)若每次取出后不再放回,求取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的概率;

   (II)在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中,得到的兩張卡片上的最大數(shù)字的期望值是否相等?請說明理由.

 

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