過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的動點P向圓0：x2+y2=b2引兩條切線PA，PB，設切點分別是A，B，若直線AB與x軸，y軸分別交于M，N兩點，則△MON面積的最小值是______．
設點P（x0，y0），則以|OP|為直徑的圓的方程為x2-x0x+y2-y0y=0，
與⊙O的方程x2+y2=b2相減得x0x+y0y=b2，即是過切點A，B的直線方程，（x0y0≠0）．
令x=0，得y=
b2
y0
，∴N(0，
b2
y0
)；令y=0，得x=
b2
x0
，∴M(
b2
x0
，0)．
∴|MN|=
(
b2
x0
)2+(
b2
y0
)2
=
b2
x20
+
y20
|x0y0|
，
點O到直線MN的距離d=
b2
x20
+
y20
，
∴S△OMN=
1
2
d|MN|=
1
2
b4
|x0y0|
，
∵點P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，
∴a2b2=b2
x20
+a2
y20
≥2ab
x20
y20
=2ab|x0y0|，當且僅當|bx0|=|ay0|時取等號．
∴2|x0y0|≤ab，
∴S△OMN≥
b4
ab
=
b3
a
．
故△MON面積的最小值是
b3
a
．
故答案為
b3
a
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓C：
x2
a
2
 
+
y2
b
2
 
=1(a＞b＞0)的一個頂點作圓x2+y2=b2的兩條切線，切點分別為A，B，若∠AOB=90°（O是坐標原點），則橢圓C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若
1
3
＜k＜
1
2
，則橢圓離心率的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2003•朝陽區(qū)一模）已知：如圖，過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F（-c，0）作垂直于長軸A1A2的直線與橢圓c交于P、Q兩點，l為左準線．
（Ⅰ）求證：直線PA2、A1Q、l共點；
（Ⅱ）若過橢圓c左焦點F（-c，0）的直線斜率為k，與橢圓c交于P、Q兩點，直線PA2、A1Q、l是否共點，若共點請證明，若不共點請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•龍巖二模）過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(-1，
2
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點A（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點M、N，使得|FP|=
1
2
|MN|（其中P為弦MN的中點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線G：x=a2上的射影依次為點D、E．
（1）若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）若N(
a2+1
2
，0)為x軸上一點，求證：
AN
=λ
NE
．

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