Question

已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{a_n}滿足an+1=

an

1+an

，a1=

1

4

，n∈N^*．
（Ⅰ） 求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 若c₁=1，（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根據(jù)題中已知條件可以推導(dǎo)出

1

an+1

-

1

an

=1，即可證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，將a1=

1

4

代入等差數(shù)列

1

an

中即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）、根據(jù)題中已知條件先求出c_n的表達(dá)式，然后求出c_na_n+1的表達(dá)式，即可求出S_n的表達(dá)式，有Sn的表達(dá)式可知當(dāng)n=1時(shí)，S_n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，（2分）
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

，公差為1的等差數(shù)列，（3分）
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=4+(n-1)×1=n+3
∴an=

1

n+3

，（4分）
（Ⅱ）∵（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，
∴

cn+1

cn

=

n+2

n+3

，
∴cn=

c2

c1

×

c3

c2

×

c4

c3

××

cn

cn-1

×c1
=

3

4

×

4

5

×

5

6

×

n+1

n+2

×1=

3

n+2

，（6分）
∴cnan+1=

3

(n+2)(n+4)

=

3

2

(

1

n+2

-

1

n+4

)，（8分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=

3

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

n+1

-

1

n+3

）+（

1

n+2

-

1

n+4

）]
=

3

2

[(

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

)]
=

7

8

-

3

2

(

1

n+3

+

1

n+4

)，（10分）
∵S_n在（0，+∞）上是增函數(shù)，（11分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n有最小值為S1=

1

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的求和和數(shù)列的推導(dǎo)公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．