Question

某種商品進(jìn)價(jià)每個(gè)80元，零售價(jià)每個(gè)100元，為了促銷擬來買一個(gè)這種商品，贈(zèng)送一個(gè)小禮品的辦法．時(shí)間表明：禮品價(jià)值為1元時(shí)，銷售量增加10％，且在一定范圍內(nèi)，禮品價(jià)值為n＋1元時(shí)，比禮品價(jià)值為n元(n∈N^*)時(shí)的銷售量增加10％．

(1)寫出禮品價(jià)值為n元時(shí)，利潤(rùn)y_n(元)與n(元)的函數(shù)關(guān)系；

(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)禮品的價(jià)值，以使商店獲得最大利潤(rùn)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)未贈(zèng)禮品時(shí)的銷售量為m件． 　　則當(dāng)禮品價(jià)值為n元時(shí)，銷售量為m(1＋10％)n； 　　利潤(rùn)ym＝(100－80－n)·m·(1＋10％)n＝(20－n)·m·1.1n(0＜n＜20，n∈N*)． 　　(2)令yn+1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n+1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9． 　　所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y(tǒng)10， 　　令yn+1－yn+2≥0，即(19－n)·m·1.1n+1－(18－n)·m·1.1n+2≥0，解得n≥8． 　　所以y9＝y(tǒng)10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19， 　　所以禮品價(jià)值為9元或10元時(shí)，商店獲得最大利潤(rùn)．

提示：

分析：第(1)問易得，第(2)問禮品的價(jià)值為多少時(shí)，使商店獲取最大利潤(rùn)，只需借助于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，使得n取某個(gè)值時(shí)，其前面的取值與后面的取值都比它小即可．即yn+1－yn≥0且yn+1－yn+2≥0． 　　評(píng)注：本題根據(jù)題意可以建立兩個(gè)關(guān)于x的指數(shù)函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的最大項(xiàng)比它前面所有的值都大且比它后面所有的值都大，通過解不等式法比較函數(shù)增長(zhǎng)的變化趨勢(shì)．