Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+x
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-4ax+1，
∵f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-4ax+1≥0（x＞1）恒成立，即（x＞1）恒成立．
令h（x）=，得（x＞1），
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）＞h（1）==1，
∴a≤1，故實(shí)數(shù)a的最大值為1．
（Ⅱ）由題意知x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，即a（x＞0）恒成立，
令r（x）=（x＞0），則，由r′（x）＜0得0＜x；由r′（x）＞0得x，
∴r（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴=．
∴a≤，
故a的取值范圍為．
分析：（1）由函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，得f′（x）≥0（x＞1）恒成立，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．
（2）f（x）≥ax即x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，可變?yōu)閍（x＞0）恒成立，只需y求出在（0，+∞）上的最小值即可．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，對于恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值問題或分離參數(shù)后再求最值．