Question

數(shù)列{a_n} （n∈N^*）為遞減的等比數(shù)列，且a₁和a₃為方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）的兩個(gè)根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

-1

(2n+1)log2a2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（1）方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）即 5x-4x²=1，即4x²-5x+1=0．
利用韋達(dá)定理可得a₁ +a₃=

5

4

，a₁ •a₃=

1

4

．再由數(shù)列{a_n} （n∈N^*）為遞減的等比數(shù)列可得a₁ =1，a₃=

1

4

，故公比為

1

2

．
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）∵b_n=

-1

(2n+1)log2a2n

=

-1

(2n+1)(1-2n)

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．