已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
-2x+b2x+1+a
是奇函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)為R上的減函數(shù);
(3)若對任意的t∈[-1,1],不等式f(2k-4t)+f(3•2t-k-1)<0恒成立,求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得f(0)=0,f(-1)=-f(1),解出即可;
(2)設x1<x2,依據(jù)奇函數(shù)的定義只需利用作差證明f(x1)>f(x2);
(3)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性把該不等式轉化為具體不等式,然后轉化為求函數(shù)的最值問題,利用二次函數(shù)的性質(zhì)易求其最大值.
解答:解:(1)由f(0)=0得b=1,由f(-1)=-f(1)得a=2.
f(x)=
-2x+1
2x+1+2

(2)設x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
-2x1+1
2x1+1+2
-
-2x2+1
2x2+1+2

=(
1
2x1+1
-
1
2
)-(
1
2x2+1
-
1
2
)

=
1
2x1+1
-
1
2x2+1
=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)
>0
,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)為R上的減函數(shù);
(3)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),得f(2k-4t)+f(3•2t-k-1)<0?f(2k-4t)<f(k+1-3•2t),
∵f(x)為R上的減函數(shù),
∴2k-4t>k+1-3•2t
k>4t-3•2t+1=(2t-
3
2
)2-
5
4

對任意的t∈[-1,1],不等式f(2k-4t)+f(3•2t-k-1)<0恒成立,等價于k>(2t-
3
2
)2-
5
4
的最大值,
∵t∈[-1,1],∴2t∈[
1
2
,2]

∴當2t=
1
2
時,4t-3•2t+1=(2t-
3
2
)2-
5
4
的最大值為-
1
4
,
k>-
1
4
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應用,考查函數(shù)恒成立問題及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)恒成立問題往往轉化為函數(shù)最值問題加以解決.
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是奇函數(shù)
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