如圖，在三棱錐C-PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，點M是PC的中點，點N在線段AB上，且MN⊥AB．
（Ⅰ）求AN的長；
（Ⅱ）求二面角M-NC-A的余弦值．
考點：用空間向量求平面間的夾角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：空間角,空間向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）分別取AB，AC的中點O，Q，連結(jié)OP，OQ，設(shè)AN=a，以O(shè)為原點，以O(shè)P為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)Q為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AN．
（Ⅱ）分別求出平面MNC的一個法向量和平面ANC的一個法向量，利用向量法能求出二面角M-NC-A的余弦值．
解答： 解：（Ⅰ）如圖，分別取AB，AC的中點O，Q，連結(jié)OP，OQ，
設(shè)AN=a，以O(shè)為原點，以O(shè)P為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)Q為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知：P（4，0，0），C（0，-3，4），
M（2，-
3
2
，2），N（0，3-a，0），
設(shè)N（x0，0，0），則
AB
=(0，-6，0)，
MN
=（-2，
9
2
-a，-2），
∵MN⊥AB，∴
AB
•
MN
=-2a+（
9
2
-a）（-6）-2•0=0，
解得AN=
9
2
．
（2）∵
MN
=(-2，0，2)，
NC
=(0，-
3
2
，4)，
設(shè)平面MNC的一個法向量為
n1
=（x0，y0，z0），
則
m
•
MN
=0
m
•
NC
=0
，∴
-2x0-2z0=0
-
3
2
y0+4z0=0
，
令z0=3，則x0=-3，y0=8，即
n1
=(-3，8，3)，
平面ANC的一個法向量為
n2
=（1，0，0），
則|cos＜
n1
，
n2
＞|=
3
82
=
3
82
82
，
故二面角M-NC-A的余弦值為
3
82
82
．
點評：本題考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知區(qū)間[m，n]的長度為n-m（n＞m），設(shè)集合A=[0，t]（t＞0），集合B=[a，b]（b＞a），從集合A到集合B的函數(shù)f：x→y=2x+t，若集合B的長度比集合A的長度大5，則實數(shù)t=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合M={x|x2≥4}，N={x|x+1≥0}，則（∁RM）∩N=（　�。�
A、{x|-1≤x＜2}
B、{x|x＜2}
C、{x|-1＜x＜2}
D、{x|x≤2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），已知點（1，e）和（e，
3
2
）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，若|AF1|-|BF2|=
6
2
，求直線AF的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在周長為定值的△DEC中，已知|DE|=8，動點C的運動軌跡為曲線G，且當(dāng)動點C運動時，cosC有最小值-
7
25
．
（1）以DE所在直線為x軸，線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程；
（2）直線l分別切橢圓G與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點M到拋物線C焦點F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點為（2，1），試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C的方程為：ax2+ay2-2a2x-4y=0（a≠0，a為常數(shù)）．
（1）判斷曲線C的形狀；
（2）設(shè)曲線C分別與x軸、y軸交于點A、B（A、B不同于原點O），試判斷△AOB的面積S是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設(shè)直線l：y=-2x+4與曲線C交于不同的兩點M、N，且|OM|=|ON|，求曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周長為12，動點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)P、Q為E上兩點，
OP
•
OQ
=0，過原點O作直線PQ的垂線，垂足為M，證明|OM|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，a1a2=-2．則當(dāng)a3取最大值時，數(shù)列{an}的公差d=
 
．

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同步練習(xí)冊答案