Question

如圖所示的樹(shù)形圖形中，第一層是一條與水平線垂直的線段，長(zhǎng)度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成135°的線段，長(zhǎng)度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；……重復(fù)前面的作法作圖至第層．設(shè)樹(shù)形圖的第層的最高點(diǎn)到水平線的距離為第層樹(shù)形圖的高度．

(1)求第三層及第四層樹(shù)形圖的高度H₃，H₄；

(2)求第層樹(shù)形圖的高度；

(3)若樹(shù)形圖的高度大于2，則稱(chēng)樹(shù)形圖為“高大”，否則稱(chēng)為“矮小”．顯然，當(dāng)=1，2時(shí)，樹(shù)形圖是“矮小”的．是否存在m∈Z，使得當(dāng)時(shí)，該樹(shù)形圖是“高大”的?

Answer 1

解：(1)設(shè)題中樹(shù)形圖(從上而下)新生的各層高度所構(gòu)成的數(shù)列為{}，

則，

       所以，第三層樹(shù)形圖的高度

       第四層樹(shù)形圖的高度．

       (2)易知，所以第層樹(shù)形圖的高度為

       所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第層樹(shù)形圖的高度為

        

      =；

       當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第層樹(shù)形圖的高度為

      

     =

(3)不存在．

由(2)知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

，

由定義知，此樹(shù)形圖永遠(yuǎn)是“矮小”的．所以不存在m∈Z．使得當(dāng)時(shí)，

該樹(shù)形圖是“高大”的．