Question

（2013•武漢模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-

2

3

，滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．則
（Ⅰ）S₃=

-

4

5

；
（Ⅱ）S_n=

-

n+1

n+2

．

Answer 1

分析：由于a₁=-

2

3

，滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．分別令n=2，3即可解出S₂，S₃．進(jìn)而猜想S_n，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答：解：由于a₁=-

2

3

，滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．
令n=2，則S2+

1

S2

+2=a2，化為a1+

1

S2

+2=0，
∴-

2

3

+

1

S2

+2=0．
解得S₂=-

3

4

．
令n=3，S3+

1

S3

+2=a3，化為S2+

1

S3

+2=0，即-

3

4

+

1

S3

+2=0．
解得S₃=-

4

5

．
猜想：Sn=-

n+1

n+2

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，S1=-

2

3

，所以命題成立．
（2）假設(shè)n=k時命題成立，即Sk=-

k+1

k+2

，
由Sk+1+

1

Sk+1

+2=ak+1 =Sk+1-Sk，
Sk+1=-

1

SK+2

=-

k+2

k+3

=-

(k+1)+1

(k+1)+2

．
這說明了n=k+1時，命題也成立．
由（1），（2）可得，對任意的正整數(shù)n命題都成立．
故答案為（Ⅰ）S₃=-

4

5

；（Ⅱ）S_n=-

n+1

n+2

．

點評：本題考查了通過遞推式求出前幾項猜想出通項公式并數(shù)學(xué)歸納法加以證明的思想方法，屬于難題．