Question

[文]已知不等式x²+px+1＞2x+p．
（1）如果不等式當(dāng)|p|≤2時恒成立，求x的范圍；
（2）如果不等式當(dāng)2≤x≤4時恒成立，求p的范圍．

Answer 1

分析：（1）是對|p|≤2時恒成立，可看作關(guān)于p的一次不等式恒成立，只要兩端點(diǎn)滿足要求即可；
（2）是對2≤x≤4時恒成立，可用分離參數(shù)求最值，或者轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，結(jié)合二次函數(shù)圖象解決即可．

解答：解：（1）原不等式為（x-1）p+（x-1）²＞0，
x=1時，有（x-1）p+（x-1）²=0，不等式不成立，
則必有x≠1，
x≠1時，令f（p）=（x-1）p+（x-1）²，f（p）是關(guān)于p的一次函數(shù)，
此時其定義域?yàn)閇-2，2]，由一次函數(shù)的單調(diào)性知

f(-2)=(x-1)(x-3)＞0 f(2)=(x-1)(x+1)＞0

，
解得x＜-1或x＞3．
即x的取值范圍是{x|x＜-1或x＞3}．
（2）不等式可化為（x-1）p＞-x²+2x-1，
∵2≤x≤4，∴x-1＞0．
∴p＞

-x2+2x-1

x-1

=1-x．
對x∈[2，4]恒成立，
所以p＞（1-x）_max．
當(dāng)2≤x≤4時，（1-x）_max=-1，
于是p＞-1．故p的范圍是{p|p＞-1}．

點(diǎn)評：本題為不等式恒成立問題，常用方法有：分離參數(shù)求最值、直接求最值、主參換位等．