Question

復(fù)數(shù)z₁=3+4i，z₂=1-i，z₃=c+（c-2）i（其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C．
（1）若∠BAC是銳角，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z-z₁|=1，求|z-z₂|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）找到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)，∠BAC是銳角，則向量

AB

•

AC

＞0，化簡即可．
（2）z對應(yīng)的點(diǎn)在以（3，4）點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，|z₁-z₂|=2

5

，則|z-z₂|的最小值為2

5

-1，最小值為2

5

+1，進(jìn)而得到其范圍．

解答： 解：（1）由題意得：則A（3，4），B（1，-1），C（c，c-2），
∴

AB

=（-2，-5），

AC

=（c-3，c-6），
∵∠BAC是銳角，
∴

AB

•

AC

＞0，
即-2（c-3）-5（c-6）＞0，
∴c＜

36

7

．
又由c=1時，

AB

與

AC

同向，此時夾角為0，
故實(shí)數(shù)c的取值范圍為c＜

36

7

，且c≠1．
（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z-z₁|=1，則
z對應(yīng)的點(diǎn)在以（3，4）點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，
又由|z₁-z₂|=

(3-1)2+(4+1)2

=2

5

，
故2

5

-1≤|z-z₂|≤2

5

+1

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)和向量的對應(yīng)關(guān)系，余弦定理，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，是中檔題．