Question

直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存在一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB₁平行？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知平面ABCD⊥平面BB₁C₁C，由余弦定理得AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）存在點(diǎn)P，P為A₁B₁的中點(diǎn)．由已知條件推導(dǎo)出四邊形DCB₁P為平行四邊形，由此能證明DP與平面BCB₁平行．

解答： （1）證明：由已知平面ABCD⊥平面BB₁C₁C
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
且AB=2AD=2CD=2，
∴AC=

2

，∠BAC=45°，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC=

AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC

=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
（2）解：存在點(diǎn)P，P為A₁B₁的中點(diǎn)．
下面證明：
∵P為A₁B₁的中點(diǎn)，∴PB1

∥ =

1

2

AB，又CD

∥ =

1

2

AB，
∴PB1

∥ =

CD，
∴四邊形DCB₁P為平行四邊形，∴DP∥CB₁，
又CB₁在平面BCB₁內(nèi)，
∴DP與平面BCB₁平行．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查直線(xiàn)與平面平行的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．