Question

（07年福建卷理）（本小題滿分12分）如圖，已知點，

直線，為平面上的動點，過作直線

的垂線，垂足為點，且．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，，求的值；

 

Answer 1

本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．

解析：解法一：（Ⅰ）設(shè)點，則，由得：

，化簡得．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：

．

設(shè)，，又，

聯(lián)立方程組，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：（Ⅰ）由得：，

，

，

．

所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．

（Ⅱ）由已知，，得．

則：．…………①

過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，

則有：．…………②

由①②得：，即．