已知函數(shù).

求證：不論為何實數(shù)，總是為增函數(shù)；

確定實數(shù)的值，使為奇函數(shù)；

當為奇函數(shù)時，求的值域.

證明：函數(shù)的定義域為.

因為在單調(diào)遞增，并且，故在上單調(diào)遞減，進而在單調(diào)遞增，由此可知在上單調(diào)遞增.

解：若為奇函數(shù)，由于的定義域為，所以，由此可知；當，.那么.

解：由（2）可知，當為奇函數(shù)時，，從而.

由于的值域為，從而的值域為，進而的值域為，進而的值域為，由此可知的值域為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+
m
2
]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：
ln2
2
×
ln3
3
×
ln4
4
×…×
lnn
n
＜
1
n
(n≥2，n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lg(
2a1+x
-1)（其中a＞0）．求證：
（1）用反證法證明函數(shù)f（x）不能為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x2-3x+
4
3
，直線l：9x+2y+c=0．
（1）求證：直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切；
（2）若當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）的圖象在直線l的下方，求c的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

已知函數(shù)f(x)不為零且對任意實數(shù)x1，x2都有f(x1+x2)+f(x1－x2)=2f(x1)·f(x2)

求證：f(x)是偶函數(shù)．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知函數(shù)f(x)不為零且對任意實數(shù)x1，x2都有f(x1+x2)+f(x1－x2)=2f(x1)·f(x2)

求證：f(x)是偶函數(shù)．

 

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