Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點(，)．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為(a＞b＞0)，
則，故
所以，橢圓方程為．
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為 y=kx+m (m≠0)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
由消去y得，
，
則，
且，，
故，
因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以，==k²，
即+m²=0，
又m≠0，所以，k²=，即k=，
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，
得0＜m²＜2且m²≠1，
設(shè)d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=d|PQ|=|x₁-x₂||m|=，
所以，S_△OPQ的取值范圍為 (0，1)．